P-Terme (4, P1)
Berechne
a) $\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 9}\cdot 3\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}$
b) $\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle -8}:\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}$
b) $(-2)\cdot \left( \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}: \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3} \right) $
P-Winkel in Figuren (4, P2)
In der Figur sind die Strecken $\overline{BF}$ und $\overline{CE}$ parallel. Weiterhin gilt: $|BC|=|BD|$. Bestimme die Größe der Winkel $\beta$, $\gamma$ und $\epsilon$.
P-Zuordnungen (4, P3)
Eine Frau fährt von München nach Stuttgart. Je nach Geschwindigkeit, braucht sie für diese Strecke unterschiedlich lange. Berechne die Werte für a und b und gib für c und d ein neues Wertepaar an.
| Geschwindigkeit in km/h | 60 | 120 | b | c |
|---|---|---|---|---|
| Dauer der Fahrt in Stunden | 4 | a | 3 | d |
Das Produkt beider Werte muss 240 ergeben (antiproportionaler Zusammenhang)
P-Symmetrie (4, P4)
Welche der folgenden Figuren (1) bis (5)
a) sind achsensymmetrisch,
b) sind punktsymmetrisch,
c) haben mehr als eine Symmetrieachse?
P-Prozentrechnung (4, P5)
Tayeb will ein neues Fahrrad kaufen. Das Fahrrad kostet eigentlich 300 Euro. Im Sonderangebot wird der Preis wird um 20 % reduziert.
a) Berechne, wie viel das Fahrrad jetzt kostet?
b) Der neue Preis stellt 60 % von Tayebs Ersparnissen dar. Wie viel Euro hat er nach dem Kauf im Sonderangebot noch übrig?
20 % Reduktion bedeutet, dass der neue Preis nun 80 % des Grundwerts entspricht.
$300 \cdot 0,8 = 240$
240 € entsprechen 60 % des Grundwerts.
$240:0,6=400$
Tayeb hatte also 400 € zur Verfügung. Subtrahiert man davon 240 €, so hat er noch 160 €.
P-Wahrscheinlichkeitsrechnung (4, P6)
In einer Urne befinden sich 3 rote und 2 blaue Kugeln. Es wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln rot sind?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine rote Kugel dabei ist?
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Zug eine rote Kugel gezogen wird, beträgt $\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 5}$. Da die Kugel nicht zurückgelegt wird, beträgt die Wahrscheinlichkeit beim zweiten Zug $\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 4}$. oder $\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}$.
Daher ergibt sich für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
$p=\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 5}\cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}=\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 10}$.
Die Aufgabe kann mit der Gegenwahrscheinlichkeit, dass keine rote Kugel gezogen wird, berechnet werden:
$p(\text{keine rote Kugel})=\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 5} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 10}$
$p(\text{mindestens eine rote Kugel})=1-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 10}=\frac{\displaystyle 9}{\displaystyle 10}$
P-Zuordnungen (4, P7)
Im Koordinatensystem ist die Entfernung von Frankfurt von 4 Personen angegeben. 1 LE auf der y-Achse entspricht dabei 10 km Entfernung. 1 LE auf der x-Achse entspricht einer Stunde.
Entscheide, welcher der Aussagen wahr sind
(1) Person A bewegt sich im betrachteten Zeitraum von Frankfurt weg.
(2) Person B fährt im betrachteten Zeitraum aus Frankfurt raus und fährt dann aber wieder zurück nach Frankfurt.
(3) Person C fährt im betrachteten Zeitraum nach Frankfurt.
(4) Person C fährt im betrachteten Zeitraum aus Frankfurt raus.
(5) Person D ist im betrachteten Zeitraum nach 3 Stunden in Frankfurt angekommen.
(6) Person D bleibt im betrachteten Zeitraum nach der Ankunft in Frankfurt.
(7) Person B ist im betrachteten Zeitraum kurzzeitig am weitesten von Frankfurt entfernt.
P-Flächenberechnung und Koordinatensysteme (4, P8)
Gegeben ist das Rechteckt $ABCD$. Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt 24 cm².
$F$ ist der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$, $G$ ist der Mittelpunkt der Strecke $\overline{CD}$, $H$ ist der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AD}$ und $E$ ist der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AF}$.
a) Bestimme wie groß die Strecke $\overline{BC}$ ist, wenn die Strecke $\overline{AB}$
das $\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 3}$-fache der Strecke $\overline{BC}$ ist.
b) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $EGH$.
Rechnung:
x sei die unbekannte Strecke.
$x \cdot \frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 3}x=24$
$x^2=9$
$x=3$
Rechnung:
Man betrachte lediglich die Hälfte des Rechtecks, in der das Dreieck liegt.
Dieses Reckteck $AFGD$ hat den Flächeninhalt von 12 cm²
Von diesem Rechteck zieht man die drei rechtwinkligen Dreiecke $AEH$, $EFG$ und $GDH$ ab.
Flächeninhalt Dreieck $AEG$:
$A=2 \cdot 1,5 \cdot 0,5 = 1,5$ cm²
Flächeninhalt Dreieck $EFG$:
$A=2 \cdot 3 \cdot 0,5 = 3$ cm²
Flächeninhalt Dreieck $GDH$:
$A=4 \cdot 1,5 \cdot 0,5 = 3$ cm²
$A_{EGH}=12-1,5-3-3=4,5$ cm²
W-Gleichungen (4, W1)
Gib die Lösungsmenge jeweils in aufzählender Form an; $\mathbb{G} = \mathbb{Z} =\{...;-2;-1;0;1;2;...\} $
a) $x-(x+3)-4x=8(-1,5x+13)-51$
b) $-(x+3)\cdot (-x+4)=x^2+(-4x)\cdot(-5)+3x+36
$
c) $(2x-16)\cdot(2x+16)<-4$
d) $(x+3)\cdot(2x-4)=0$
Lösung der Gleichung:
$(-x-3)\cdot(-x+4)=x^2+20x+3x+36$
$x^2-4x+3x-12=x^2+23x+36$
$x^2-x-12==x^2+23x+36$
$-x-12=23x+36$
$-48=24x$ $-2=x$
Lösung der Gleichung
$4x^2-32x+32x-256<-4$
$4x^2-256<-4$
$4x^2<252$
$x^2<63$
Lösung der Gleichung:
Lösung für $x_1$:
$x+3=0$
$x_1=-3$
Lösung für $x_2$:
$2x-4=0$
$2x=4$
$x_2=2$
W-Dreieckskonstruktion (4, W2)
a) Konstruiere das Dreieck $ABC$ mit $a=4,0$ cm, $b=5,3$ cm und $\beta=46^{\circ}$.
b) Konstruiere das Dreieck $ABC$ mit $h_b=w_{\beta}=4,0$ cm und $a=5,5$ cm.
c) Konstruiere das Dreieck $ABC$ mit $\alpha=50^{\circ}$, $\beta=40^{\circ}$ und $w_\alpha=5,0$ cm.
c= 7,2 cm
Konstruktionsvorschlag:
1) Konstruiere die Seite a und Trage die Punkte B und C ein.
2) Konstruiere den Winkel $\beta$ bei B und zeichne einen Strahl.
3) Wähle mit dem Zirkel den Radius von 5,3 cm und stich im Punkt C ein. Konstruiere einen Kreisbogen. Der Schnittpunkt mit dem Strahl bildet den Punkt A.
4) Markiere den Punkt A und beschrifte das Dreieck.
Hinweis: Es handelt sich um den Kongruenzsatz Ssw
c= 5,5 cm
Konstruktionsvorschlag:
1) Konstruiere zwei parallele Geraden im Abstand von 4 cm. Auf der linken Geraden befindet sich die Seite b, sowie die Eckpunkte A und C, auf der rechten Gerade der Punkt B
2) Wähle auf der rechten Geraden einen beliebigen Punkt und nenne ihn B.
3) Da die Höhe $h_b$ der Winkelhalbierenden $w_{\beta}$ entspricht ist die Winkelhalbierende die senkrechte Verbindung vom Punkt B zur linken Geraden. Konstruiere diese Strecke und beschrifte sie mit $w_{\beta}$. Beschrifte den Punkt an der linken Gerade mit D
4) Wähle mit dem Zirkel den Radius von 5,5 cm und stich im Punkt B ein. Konstruiere einen Kreisbogen. Der rechte Schnittpunkt mit der linken Geraden bildet den Punkt C. Der zweite Schnittpunkt kommt nicht in Betracht, da sich der Punkt C rechts von der Winkelhabierenden befinden muss.
5) Miss den Winkel bei B. Dieser entspricht $\frac{\displaystyle \beta}{\displaystyle 2}$. Der Wert entspricht etwa 43°. konstruiere den gleichen Winkel erneut links von B und zeichne einen Strahl. Der Schnittpunkt des Strahls mit der linken Geraden bildet den Punkt A.
6) Beschrifte das Dreieck.
b= 4,5 cm
Konstruktionsvorschlag
1) Konstruiere den Winkel $\alpha$ und zeichne beide Schenkel als Strahl. Auf dem oberen Strahl muss sich der Punkt C befinden und auf dem unteren der Punkt B.
2) Da $\frac{\displaystyle \alpha}{\displaystyle 2}=25^{\circ}$ konstruiere diesen Winkel bei A ebenfalls. Zeichne den Schenkel 5 cm lang (alternativ mit dem Zirkel konstruieren). Markiere nach 5 cm den Punkt D.
3) Im Dreieck $ADC$ sind alle Winkel bekannt, obwohl die Lage von Punkt C noch unbekannt ist. Da zwei Winkel gegeben sind ($25^{\circ}$ und $\gamma=40^{\circ}$) muss der Winkel bei D (in Abbildung $\delta_1$) $115^{\circ}$ groß sein. Konstruiere diesen Winkel.
4) Der Schnittpunkt mit dem Schenkel vom Winkel $\alpha$ ist der Punkt C. Verlängere die Strecke $\overline{CD}$ um den Punkt B zu bestimmen.
W-Komplexe Wahrscheinlichkeitsrechnung (4, W3)
Ein Spielzeugauto hat 4 Räder, die jeweils rot, grün oder blau sein können. Ein Würfel mit einer roten, zwei grünen und drei blauen Seiten gibt die Farbe des nächsten Rades an, das auf das Auto montiert wird. Es wird viermal gewürfelt.
a) Berechne die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
(2) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto kein blaues Rad hat?
(3) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto mindestens ein blaues Rad hat?
(4) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto abwechselnd rote und grüne Räder (d. h. entweder mit rot beginnend oder mit grün beginnend) montiert werden?”
c) Zuerst wird das linke Vorderrad, dann das rechte Vorderrad, dann das linke Hinterrad und dann das rechte Hinterrad montiert.
(2) Wie groß ist de Wahrscheinlichkeit, dass keine geichen Farben nebeneinander montiert werden?
Die Wahrscheinlichkeit kann über das Gegenereignis (kein blaues Rad) berechnet werden:
$p(\text{kein blaues Rad})=\left( \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \right)^4$
$p(\text{mind. ein blaues Rad})=1-\left( \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \right)^4= \frac{\displaystyle 15}{\displaystyle 16} $
$p(\text{rot grün abwechselnd})=p(\text{rot-grün-rot-grün})+p(\text{grün-rot-grün-rot})$
$p=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 162}$
Prinzipiell gibt es 4 Möglichkeiten, wie blaue Reifen nebeneinander montiert werden können: 2 blaue links, 2 blaue rechts, 2 blaue vorne, 2 blaue hinten.
Da jedoch auch die anderen Farben eine Rolle spielen gibt es für jeden Fall nochmal 4 weitere Möglichkeiten (siehe Abbildung).
Jeder Fall hat jedoch die Wahrscheinlichkeit $p=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 72}$
Da es 16 Fälle gibt: $p=16 \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 72}= \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 9}$
Damit keine zwei gleichfarbigen Reifen nebeneinander sind, müssen die diagonalen Reifen in der Farbe identisch sein. Daher kommen die drei diagonalen Fälle blau, grün und rot in Frage. Da es jeweils 2 Arten der Diagonalität gibt (links vorne und rechts hinten vs. rechts vorne und links hinten) und jeweils die anderen beiden Farben sich ebenfalls abwechseln können, ergeben sich 12 Fälle (links in der Abbildung)
Es gibt jedoch auch noch die Möglichkeit, dass nur 2 Farben montiert werden. Dabei müssen sich die gleichfarbigen Reifen jeweils diagonal gegenüber stehen. Dies ergibt 6 mögliche Fälle (rechts in der Abbildung, doppelte Varianten wurden mit einem X versehen)
Daraus resultiert die folgende Berechnung:
$p(\text{blau diagonal})=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \cdot 4= \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 18}$
$p(\text{grün diagonal})=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3} \cdot 4= \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 27}$
$p(\text{rot diagonal})=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6} \cdot 4= \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 54}$
es folgen die Varianten mit 2 Farben:
$p(\text{blau und grün})=\left( \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \right)^2 \cdot \left( \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3} \right)^2 \cdot 2 = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 18}$
$p(\text{blau und rot})=\left( \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \right)^2 \cdot \left( \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6} \right)^2 \cdot 2 = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 72}$
$p(\text{rün und rot})=\left( \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3} \right)^2 \cdot \left( \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6} \right)^2 \cdot 2 = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 162}$
$p=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 18} +\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 27}+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 54}+ \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 18}+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 72}+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 162}=\frac{\displaystyle 121}{\displaystyle 648} $
Hinweis: Die Summe am Ende ist als volle Punktzahl zu werten.
P-Terme (3, P1)
a) Gib einen Term für den Umfang der nebenstehenden Figur in Abhängigkeit von x an.
b) Gib einen Term für den Flächeninhalt der nebenstehenden Figur in Abhängikeit von x an.
c) x sei 3 cm. Berechne den Flächeninhalt der Figur.
P-Prozentrechnung (3, P2)
Ein Supermarkt bietet zwei verschiedene Sorten von Schokolade an. Die erste Sorte kostet 2,50 € enthält 600 kcal. Die zweite Sorte kostet 4,00 € und enthält 780 kcal.
a) Wie viel Prozent mehr Kalorien enthält die zweite Sorte im Vergleich zur ersten Sorte?
b) Um wieviel Prozent müsste die zweite Sorte reduziert werden, damit sie so teuer ist, wie die erste Sorte?
P-Zuordnungen (3, P3)
Die Klasse 9b verkauft auf dem Schulfest frisch gebackene Waffeln zum festen Stückpreis. Berechne die Werte für a und b und gib für c und d ein neues Wertepaar an.
| Anzahl Waffeln | 20 | 10 | b | c |
|---|---|---|---|---|
| Preis in € | 26 | a | 2,6 | d |
P-Winkel in Figuren (3, P4)
In der Figur sind die Geraden f und g parallel. Weiterhin gilt: $|AD|=|BD|$. Bestimme die Größe der Winkel $\gamma$, $\delta$ und $\epsilon$.
P-Prozentrechnung (3, P5)
Die durchschnittliche Miete für eine 2-Zimmer-Wohnung in Frankfurt beträgt im Jahr 2023 990 € pro Monat. Das sind 10 % mehr als im Vorjahr. Wie viel betrug die durchschnittliche Miete für eine 2-Zimmer-Wohnung in Frankfurt im Jahr 2022?
Um den Grundwert (100 %) zu berechnen muss 990 durch 1,1 dividiert werden.
$990:1,1=900$
P-Wahrscheinlichkeitsrechnung (3, P6)
Das folgende Glücksrad wird gedreht.
a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass das Rad auf dem grünen Feld stehen bleibt.
b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass bei zwei Versuchen die Farben blau und pink gedreht werden.
P-Symmetrie (3, P7)
Welche der folgenden Figuren (1) bis (5)
a) sind achsensymmetrisch,
b) sind punktsymmetrisch,
c) haben mehr als eine Symmetrieachse?
P-Flächenberechnung und Koordinatensysteme (3, P8)
Im Koordinatensystem gilt: $(1\:LE\: \widehat{=}\: 1\:cm)$
a) Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$.
b) Das Dreieck soll um den Punkt D ergänzt werden, sodass ein Trapez entsteht. Dabei soll gelten: $\overline{AB}\:||\:\overline{CD}$. Der Punkt D soll sich links vom Punkt C befinden. Bestimme die Koordinaten des Punktes D, sodass der Flächeninhalt des Trapezes 30 cm² groß ist.
Für das vorliegende Trapez gilt: a=5 cm und h=5 cm. Demnach gilt:
$30=\frac{\displaystyle (5+c)\cdot 5}{\displaystyle 2}$
$30=(5+c)\cdot2,5$
$30=12,5+2,5c$
$c=7$
Die Seite c muss daher 7 cm lang sein. Der Punkt D muss daher 7 cm vom Punkt D entfernt sein. Daher gilt D(-3|5)
W-Gleichungen (3, W1)
Gib die Lösungsmenge jeweils in aufzählender Form an; $\mathbb{G} = \mathbb{Z} =\{...;-2;-1;0;1;2;...\} $
a) $-2\cdot(5x-9)+(-2)\cdot(-4)=-(-2x+3)+5$
b) $2x^2-3\cdot(2x+5)=(x+1)\cdot(x-1)-6x+2$
c) $(-x-4)\cdot(x+2)\geq -6x-10$
d) $(4x+8)\cdot(x+2)=400$
Lösung der Gleichung:
$2x^2-6x-15=x^2-x+x-1-6x+2$
$2x^2-6x-15=x^2-6x-1$
$2x^2-15=x^2-1$
$x^2=16$
$x_1=4; x_2=-4$
Lösung der Ungleichung:
$-x^2-2x-4x-8 \geq -6x-10$
$-x^2-6x-8 \geq -6x-10$
$-x^2-8 \geq -10 $
$-x^2 \geq -2 $
$x^2 \leq 2$
$\mathbb{L}=\{-1;0;1\}$
Lösung der Gleichung:
$4(x+2)\cdot (x+2)=400$
$(x+2) \cdot (x+2)=100$
$(x+2)^2=100$
Lösung für $x_1$:
$x+2=10$
$x_1=8$
Lösung für $x_2$:
$x+2=-10$
$x_2=-12$
W-Dreieckskonstruktion (3, W2)
a) Konstruiere das stumpfwinklige Dreieck $ABC$ mit $a=7,0$ cm, $b=5,0$ cm und $\beta=32^{\circ}$.
b) Bei einem Dreieck $ABC$ ist die Winkelhalbierende $w_{\alpha}=5$ cm, $\alpha=60^{\circ}$ und $\gamma=42^{\circ}$. Die Winkelhalbierende $w_{\alpha}$ trifft die Seite $\overline{BC}=a$ im Punkt D. Konstruiere das Dreieck.
c) Konstruiere das Dreieck $ABC$ mit $b=5,0$ cm, $\alpha=47^{\circ}$ und $w_\gamma=4,0$ cm.
$\alpha=$ $48^{\circ}$
Konstruktionsvorschlag:
1) Konstruiere die Seite a und Trage die Punkte B und C ein.
2) Konstruiere den Winkel $\beta$ bei B und zeichne einen Strahl.
3) Wähle mit dem Zirkel den Radius von 5 cm und stich im Punkt C ein. Konstruiere einen Kreisbogen. Die Schnittpunkte mit dem Strahl bilden den möglichen Punkt A. Beschrifte den rechten Schnittpunkt mit $A_2$. Da das Dreieck $A_2BC$ bei $A_2$ einen stumpfen Winkel hat, kommt dieses Dreieck nicht in Betracht (siehe Aufgabenstellung).
4) Markiere den Punkt A und beschrifte das Dreieck.
a= 6,3 cm
Konstruktionsvorschlag
1) Konstruiere den Winkel $\alpha$ und zeichne beide Schenkel als Strahl. Auf dem oberen Strahl muss sich der Punkt C befinden und auf dem unteren der Punkt B.
2) Da $\frac{\displaystyle \alpha}{\displaystyle 2}=30^{\circ}$ konstruiere diesen Winkel bei A ebenfalls. Zeichne den Schenkel 5 cm lang (alternativ mit dem Zirkel konstruieren). Markiere nach 5 cm den Punkt D.
3) Im Dreieck $ADC$ sind alle Winkel bekannt, obwohl die Lage von Punkt C noch unbekannt ist. Da zwei Winkel gegeben sind ($30^{\circ}$ und $\gamma=42^{\circ}$) muss der Winkel bei D (in Abbildung $\delta_1$) $108^{\circ}$ groß sein. Konstruiere diesen Winkel.
4) Der Schnittpunkt mit dem Schenkel vom Winkel $\alpha$ ist der Punkt C. Verlängere die Strecke $\overline{CD}$ um den Punkt B zu bestimmen.
c= 3,1 cm
Konstruktionsvorschlag:
1) Konstruiere die Seite B und Trage die Eckpunkte A und C ein.
2) Konstruiere den Winkel $\alpha$ bei A und zeichne den unbekannten Schenkel als Strahl. Auf diesem Strahl muss sich der Eckpunkt B befinden.
3) Stelle mit dem Zirkel den Radius von $w_\gamma$ ein (4 cm) und stich damit im Punkt C ein. Konstruiere einen Kreisbogen. Der Kreisbogen schneidet den unteren Strahl an zwei Punkten. Beschrifte diese mit $D_1$ und $D_2$ und zeichne beide mögliche Winkelhalbierenden (Strecke $\overline{D_1C}$ und $\overline{D_2C}$).
4) Miss beide Winkel, die bei $\gamma$ entstehen. Beide Winkel stellen potenziell $\frac{\displaystyle \gamma}{\displaystyle 2}$ dar. Ein Winkel ist ca. 19°, der andere ca. 67°. Nur der 19° Winkel ist relevant (Erklärung folgt).
5) Verdopple den 19° Winkel. Der Schnittpunkt des Schenkels mit dem unteren Strahl ist der Eckpunkt B. Beschrifte das Dreieck fertig.
Erklärung, warum der 69° Winkel nicht relevant ist:
Da $69^{\circ}= \frac{\displaystyle \gamma}{\displaystyle 2}$ muss $\gamma=2\cdot69^{\circ}=138^{\circ}$ sein. Da der Winkel $\alpha$ mit 47° ebenfalls bekannt ist, ergeben beide Winkel zusammen 185°. Da die Winkelsumme eines Dreiecks 180° ergeben muss, ist damit kein Dreieck konstruierbar (siehe Abbildung).
W-Komplexe Wahrscheinlichkeitsrechnung (3, W3)
Anna hat ein neues Smartphone gekauft. Leider macht das Smartphone bei einem eingehenden Anruf Probleme: Entweder ertönt mit einer Wahrscheinlichkeit von 5 % der Klingelton nicht oder das Smartphone vibriert mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 % nicht. Beide Fehler treten unabhängig voneinander auf.
a) Anna hat einen eingehenden Anruf. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
(2) das Smartphone nur nicht klingelt,
(3) das Smartphone nur nicht vibriert,
(4) mindestens einer der beiden Fehler auftritt.
c) Anna bringt das Gerät zur Reparatur. Als sie das Smartphone zurückbekommt, sagt der Verkäufer, dass er lediglich die Wahrscheinlichkeit, dass es nicht vibriert, verbessern konnte, dieser Fehler aber immer noch auftritt. Er gibt an, dass bei einem eingehenden Anruf die Wahrscheinlichkeit, dass keiner der beiden Fehler auftritt, nun bei 90 % liegt. Berechne die neue Wahrscheinlichkeit q, dass das Handy nicht vibriert.
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Smartphone klingelt liegt bei 95 % =$\frac{\displaystyle 19}{\displaystyle 20}$.
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Smartphone vibriertliegt bei 90% =$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 10}$.
Da die Fehler unabhängig voneinander auftreten und auch gleichzeitig auftreten können, ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten:
$p=\frac{\displaystyle 19}{\displaystyle 20}\cdot \frac{\displaystyle 9}{\displaystyle 10}=\frac{\displaystyle 171}{\displaystyle 200}=0,855$
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der beiden Fehlern auftritt ist die Gegenwahrscheinlichkeit davon, dass kein Fehler auftritt.
Daher kann diese Aufgabe mit Hilfe der Gegenwahrscheinlichkeit berechnet werden:
$p=1-\left( \frac{\displaystyle 19}{\displaystyle 20}\cdot \frac{\displaystyle 9}{\displaystyle 10}\right)=\frac{\displaystyle 29}{\displaystyle 200}=0,145$
Alle drei Fehler müssen auftreten, demnach gilt:
$p=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 20}\cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 10}\cdot \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 10}=\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2000}=0,0015$
q sei die Wahrscheinlichkeit, dass das Handy vibriert.
Dann muss gelten: $\frac{\displaystyle 19}{\displaystyle 20}\cdot q= 0,9$
$0,9:0,95=\frac{\displaystyle 18}{\displaystyle 19}$
P-Terme (2, P1)
Berechne:
a) $\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}:\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 2}$
b) $3\cdot(81-97)$
c) $3^2-\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 2}\cdot (-2)+9^0$
P-Prozentrechnung (2, P2)
Ein Supermarkt bietet einen Rabatt von 20% auf alle Produkte an. Ein Kunde kauft eine Packung Kekse, die ursprünglich 2,99 € kostet. Wie viel kostet die Packung Kekse nach dem Rabatt? Runde auf ganze Cent.
P-Flächenberechnung und Koordinatensysteme (2, P3)
Im gegebenen Koordinatensystem $(1\:LE\: \widehat{=}\: 1\:cm)$ sind die Punkte $A(-2|2)$ und $B(3|5)$ gegeben.
a) Spiegelt man die Punkte $A$ und $B$ an der y-Achse, so entstehen die Punkte $A'$ und $B'$. Gib die Koordinaten der Punkte an.
b) Berechne den Flächeninhalt des Trapezes $AA'BB'$.
c) Das Trapez ist Teil eines Dreiecks mit den Eckpunten $B$ und $B'$ und dem unbekannten Punkt $C$. Die Punkte $A$ und $A'$ liegen auf der Seite $\overline{B'C}$ bzw. $\overline{BC}$ des Dreiecks. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $CBB'$.
Das Dreieck hat damit die Höhe von 9 LE.
Für den Flächeninhalt gilt: $A=6\:cm \cdot 9\:cm\cdot\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}=27\:cm^2$
P-Winkel in Figuren (2, P4)
In der Figur liegen die Punkte C und D auf dem Halbkreis um den Mittelpunkt M.
Berechne die Winkel $\alpha$, $\delta$ und $\epsilon$.
P-Symmetrie (2, P5)
Welche der folgenden Figuren (1) bis (5)
a) sind achsensymmetrisch,
b) sind punktsymmetrisch,
c) haben mehr als eine Symmetrieachse?
P-Wahrscheinlichkeitsrechnung (2, P6)
Ein Schüler wählt zufällig Karten aus einem Satz von 20 Karten aus. Die Karten sind durchnummeriert von 1 bis 20.
a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine ausgewählte Karte eine ungerade Zahl ist.
b) Er zieht zwei Karten ohne zurücklegen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Karte eine Zahl ist, die durch 7 teilbar ist und die zweite Karte durch 5 teilbar ist.
Gib jeweils einen Bruch als Ergebnis an.
$=\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 95}$
P-Zuordnungen (2, P7)
Ein Mann möchte eine Treppe bauen, um einen Höhenunterschied von 3 Metern zu überwinden. Die Treppe soll aus gleich hohen Stufen bestehen. Je nach gewählter Stufenhöhe wird hierfür eine unterschiedliche Anzahl gleich hoher Stufen benötigt (siehe Tabelle).
| Stufenhöhe in cm | 20 | x | 25 |
|---|---|---|---|
| Anzahl der Stufen | 15 | 10 | y |
a) Berechne x und y.
b) Die erste Stufe soll 10 cm hoch sein. Jede Stufe soll ein cm höher, als die vorherige sein. Berechne, ob der Bau einer solchen Treppe möglich ist.
$10+11+12+...+23+24+25=280$
$10+11+12+...+24+25+26=306$
Demnach kommt man nicht genau auf 300 cm
P-Flächenberechnung und Koordinatensysteme (2, P8)
Verlängert man bei einem Quadrat zwei gegenüberliegende Seiten jeweils um 5 cm und verkürzt die anderen beiden Seiten jeweils um 4 cm, so entsteht ein Rechteck mit gleichem Flächeninhalt.
Berechne den Flächeninhalt des Quadrats.
Der Flächeninhalt des Quadrats mit der Seitenlänge $a$ entspricht $A=a^2$.
Verlängert man zwei Seiten um 5 cm, so haben diese die Länge: $a+5$.
Verkürzt man die anderen beiden Seiten um 4 cm, so haben diese die Länge $a-4$.
Der Flächeninhalt des neuen Rechtecks ist damit $A=(a+5)(a-4)$.
Da dieser Flächeninhalt dem des Quadrats entsprechen soll, ergibt sich die Gleichung:
$a^2=(a+5)(a-4)$
Auflösen der Gleichung:
$a^2=a^2-4a+5a-20$
$0=a-20$
$a=20$
$A=(20\:cm)^2=400\:cm^2$
W-Gleichungen (2, W1)
Gib die Lösungsmenge jeweils in aufzählender Form an; $\mathbb{G} = \mathbb{Z} =\{...;-2;-1;0;1;2;...\} $
a) $4x-(7+3x)=2(x+6)-9$
b) $x\cdot(3x+4)=(-x-1)\cdot (-3x+4)$
c) $x^2+4\cdot(x-7)>(x+1)\cdot(x+2)+5$
d) $(x+2)\cdot(x+2)=16$
Lösung der Gleichung:
$3x^2+4x=3x^2-x+3x-4$
$3x^2+4x=3x^2+2x-4$
$4x=2x-4$
$2x=-4$
$x=-2$
Lösung der Ungleichung:
$x^2+4x-28>x^2+2x+x+2+5$
$x^2+4x-28>x^2+3x+7$
$4x-28>3x+7$
$x>35$
$\mathbb{L}=\{36;37;38;...\}$
Lösung der Gleichung:
$(x+2)^2=16$
Lösung für $x_1$:
$x+2=4$
$x_1=2$
Lösung für $x_2$:
$x+2=-4$
$x_2=-6$
W-Dreieckskonstruktion (2, W2)
a) Konstruiere ein Dreieck $ABC$ mit $c=6,5$ cm, $b=4,0$ cm und $\alpha=30^{\circ}$.
b) Konstruiere ein Dreieck $ABC$ mit $a=6,0$ cm, $\gamma=35^{\circ}$ und $s_a=5,5$ cm.
c) Konstruiere ein spitzwinkliges Dreieck $ABC$ mit $h_c=4,0$ cm, $b=6,0$ cm und $s_b=5,0$ cm.
$\beta=$ $33,5^{\circ}$
Konstruktionsvorschlag:
1) Konstruiere die Seite c und Trage die Punkte A und B ein.
2) Konstruiere den Winkel $\alpha$ bei A und zeichne einen Strahl.
3) Miss die Länge der Seite b an diesem Strahl ab, oder konstruiere die Länge mit Hilfe des Zirkels.
4) Markiere den Punkt C und im Anschluss die Seite a. Beschrifte das Dreieck.
$\alpha=$ $52^{\circ}$
Konstruktionsvorschlag:
1) Konstruiere die Seite a und Trage die Punkte B und C ein.
2) Konstruiere bei C den Winkel $\gamma$ und erzeuge einen Strahl
3) Konstruiere den Mittelpunkt der Seite a (abmessen, oder mit dem Zirkel) und benenne den Punkt als $M_{BC}$.
4) Stelle mit dem Zirkel den Radius von $s_a$ ein (3 cm) und stich damit im Punkt $M_{BC}$ ein. Konstruiere einen Kreis. Auf diesem Kreis muss der Punkt A liegen. Der Schnittpunkt mit dem Strahl ist der Punkt A.
5) Verbinde zu einem fertigen Dreieck und beschrifte korrekt.
$\alpha=$ $42^{\circ}$
Konstruktionsvorschlag:
1) Konstruiere zwei parallele Geraden im Abstand von 4 cm (bedingt durch die Höhe $h_c$. Auf der unteren Gerade befindet sich die Seite $c$ und die Punkte $A$ und $B$, auf der oberen Gerade der Punkt $C$.
2) Wähle auf der unteren Gerade einen Punkt aus und beschrifte ihn mit $A$.
3) Wähle mit dem Zirkel den Radius von 6 cm und stich im Punkt $A$ ein. Konstruiere einen Kreisbogen. Die Schnittpunkte mit der oberen Geraden bilden den möglichen Punkt $C$. Beschrifte den rechten Schnittpunkt mit $C_2$. Dieser ist jedoch nicht relevant (Erklärung folgt).
4) Konstruiere den Mittelpunkt der Seite b und bezeichne ihn mit $M_b$. 5) Wähle mit dem Zirkel den Radius von 5 cm und stich im Punkt $M_b$ ein. Der Schnittpunkt mit der unteren Gerade ist der Punkt B. Nur der rechte Schnittpunkt kommt in Betracht, da der linke Schnittpunkt kein Dreieck mit Beschriftung gegen den Uhrzeigersinn ermöglicht.
6) Verbinde die Seiten und beschrifte das Dreieck.
Erklärung, warum $C_2$ irrelvant ist: Ein Dreieck mit Eckpunkt $C_2$ ist konstruierbar. Jedoch wäre der Winkel bei $\alpha$ größer als 90° und demnach wäre es kein spitzwinkliges Dreieck (siehe Abbildung).
W-Komplexe Wahrscheinlichkeitsrechnung (2, W3)
In einer Stadt haben 80% der erwachsenen Menschen ein Auto.
a) Aus der Stadt werden zufällig zwei erwachsene Menschen ausgewählt.
Hinweis: Es handelt sich um ein Ziehen mit Zurücklegen. (Aufgrund der sehr großen Anzahl der Personen in einer Stadt geht man davon aus, dass sich die Wahrscheinlichkeit nicht groß ändert, wenn man eine einzelne Person zieht. Daher kann man es als ein Ziehen mit Zurücklegen betrachten)
(2) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat genau einer der beiden ein Auto?
c) Anhand einer Stichprobe aus 10 erwachsenen Menschen wird festgestellt, dass 60% der betroffenen Personen ein Auto haben.
(2) Drei Personen der Stichprobe werden nach dem Besitz eines Autos gefragt. Der erste hat ein Auto. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die übrigen beiden Personen kein Auto haben?
(3) Der Stichprobe werden weitere 10 Leute hinzugefügt. Wie viele von ihnen müssen ein Auto besitzen, sodass die Statistik der Stadt stimmt?
Wenn 80% der erwachsenen Menschen in der Stadt ein Auto besitzen, dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass keiner von beiden ein Auto hat, gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten dafür, dass jeder von ihnen kein Auto hat. Das bedeutet:
$p=0,2 \cdot 0,2 = 0,04$ oder $4$ %.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau einer der beiden ein Auto hat (der andere jedoch keines), ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dafür, dass der erste Mensch ein Auto hat und der zweite nicht oder umgekehrt. Das bedeutet:
$p=2 \cdot 0,8 \cdot 0,2 = 0,32$ oder $32\: \%$.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens einer von vier erwachsenen Menschen in der Stadt ein Auto hat, ist gleich 1 minus der Wahrscheinlichkeit dafür, dass keiner von ihnen ein Auto hat. Das bedeutet:
Keiner der vier Personen hat ein Auto: $p=0,2^4=0,0016$
Mindestens einer hat ein Auto: $1 - 0,0016 = 0,9984$ oder $99.84\:\%$.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau einer der beiden Personen ein Auto hat (der andere jedoch keines), ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten für die beiden Fälle: Der erste Mensch hat ein Auto und der zweite nicht oder umgekehrt. Da 60 % von den 10 Personen ein Auto haben, bedeutet dies, dass 6 Personen ein Auto haben und 4 nicht. Da zwei Personen gezogen werden handelt es sich um ein Ziehen ohne Zurücklegen. Das bedeutet, dass sich die Wahrscheinlichkeit nach dem ersten Ziehen ändert:
$p=\frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 10}\cdot \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 9} + \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 10}\cdot \frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 9} = \frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 15}$
Da eine Person bereits gezogen worden ist, sind nur noch 9 Personen möglich zu ziehen. Von diesen wissen wir, dass 5 Personen von ehemals 6 ein Auto haben und 4 nicht. Daraus ergibt sich die folgende Wahrscheinlichkeit:
$p=\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 9}\cdot\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 8}=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}$
P-Terme (1, P1)
Berechne.
a) $\frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 7}\cdot(-8+29)+1$
b) $\frac{\displaystyle 81}{\displaystyle 9}+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}-2\cdot(-7)$
c) $121:11^2-\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 7}$
P-Zuordnungen (1, P2)
Beim Weihnachtsbaumverkauf kosten drei Tannenbäume 22,50€.
Berechne die Werte für a und b und gib für c und d ein neues Wertepaar an.
| Anzahl der Bäume | 3 | 12 | b | c |
|---|---|---|---|---|
| Preis in € | 22,5 | a | 37,5 | d |
P-Winkel in Figuren (1, P3)
In der Figur gilt $|CB|=|CD|$. Bestimme die Größen der Winkel $\beta , \gamma$ und $\epsilon$.
P-Symmetrie (1, P4)
Gib an, welche der Figuren
a) achsensymmetrisch sind,
b) punktsymmetrisch sind,
c) mehr als eine Symmetrieachse haben.
P-Prozentrechnung (1, P5)
Auf dem Weihnachtsmarkt kostet ein Glas Kinderpunsch mittlerweile 3,60 €. Das ist im Vergleich zum Vorjahr eine Steigerung von 20 %.
a) Wie viel hat der Kinderpunsch im vergangenen Jahr gekostet?
b) Wie viel hat der Kinderpunsch vor zwei Jahren gekostet, wenn der Preis des Getränks im letzten Jahr um den gleichen Prozentsatz erhöht wurde?
P-Wahrscheinlichkeitsrechnung (1, P6)
Ein zehnseitiger Würfel ist mit vier verschiedenen Farben (rot, blau, grün, gelb) angemalt. Dabei sind zwei Seitenflächen rot, drei Seitenflächen blau und eine Seitenfläche gelb. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird…
a) beim einmaligen würfeln eine grüne Seitenfläche oben liegen?
b) beim zweimaligen würfeln, eine blaue und eine gelbe Seitenfläche oben liegen?
P-Terme (1, P7)
Berechne den Wert des Terms für $h=-2$ und $c=1,4$
a) $-h\cdot c$
b) $h^2-(h+2c)$
c) $c:(-h)+(-c\cdot h \cdot c^2)$
P-Flächenberechnung und Koordinatensysteme (1, P8)
a) Berechne die Größe der Fläche des Dreiecks $ABE$.
b) Berechne x, sodass die Größe der Fläche des Dreiecks $ACD$ doppelt so groß ist, wie die Fläche des Dreiecks $ABE$.
W-Gleichungen (1, W1)
Gib die Lösungsmenge jeweils in aufzählender Form an; $\mathbb{G} = \mathbb{Z} =\{...;-2;-1;0;1;2;...\} $
a) $6\cdot (x+6,5)=-21\cdot (7x+2)+9(12x-1)$
b) $(8+x)\cdot (7-x)+2=x(-x+3)+2 $
c) $4x^2-8x+21>x\cdot (3x-3)-5x+39 $
d) $(30-x)^2=2500 $
Lösung der Gleichung:
$6x+39=-147x-42+108x-9$
$6x+39=-39x-51$
$45x=-90$
$x=-2$
Lösung der Gleichung:
$56-8x+7x-x^2+2=-x^2+3x+2$
$-x^2-x+58=-x^2+3x+2$
$-x+58=3x+2$
$56=4x$
$14=x$
Lösung der Ungleichung:
$4x^2-8x+21>3x^2-3x-5x+39$
$4x^2-8x+21>3x^2-8x+39$
$4x^2+21>3x^2+39$
$x^2>18$
$\mathbb{L}=\{...;-7;-6;-5;5;6;7;...\}$
Lösung der Gleichung:
Lösung für $x_1:$
$30-x=50$
$x_1=-20$
Lösung für $x_2$:
$30-x=-50$
$x_2=?80$
W-Dreieckskonstruktion (1, W2)
a) Konstruiere ein Dreieck $ABC$ mit $a=5,0$ cm, $b=3,0$ cm und $c=6,0$ cm.
b) Konstruiere ein Dreieck $ABC$ mit $h_c=4,0$ cm, $a=6,0$ cm und $w_\beta=7,0$ cm.
c) Konstruiere ein Dreieck $ABC$ mit $h_c=3,0$ cm, $b=4,0$ cm und $w_\gamma=5,0$ cm.
$\alpha=$ $56^{\circ}$
Konstruktionsvorschlag:
1) Konstruiere die Seite c und Trage die Punkte A und B ein.
2) Stelle mit dem Zirkel den Radius von b ein (3 cm) und stich damit im Punkt A ein. Konstruiere einen Halbkreis. Auf diesem Kreis muss der Punkt C liegen
3) Wiederhole den Vorgang für die Seite a. Stelle dafür den Zirkel auf 5 cm und Stich mit dem Zirkel um Punkt B ein. Konstruiere einen Halbkreis. 4) Der Schnittpunkt der beiden Halbkreise ist der Punkt C. Verbinde zum fertigen Dreieck und beschrifte das Dreieck.
Hinweis: Es handelt sich um den Kongruenzsatz SSS.
$\alpha=$ $36^{\circ}$
Konstruktionsvorschlag:
1) Konstruiere zwei parallele Geraden im Abstand von 4 cm. Auf der unteren Geraden befindet sich die Seite c mit den Punkten $A$ und $B$. Auf der oberen Geraden muss sich der Punkt $C$ befinden. Damit ist die Höhe $h_c$ konstruiert.
2) Wähle auf der unteren Seite einen Punkt aus, den du mit $B$ beschriftest. Konstruiere die Seite $a$, indem du den Zirkel auf 6 cm einstellst. Stich im Punkt $B$ ein und konstruiere einen Halbkreis um den Punkt $B$. Die obere Gerade wird von dem Kreis zweimal geschnitten. Der linke Schnittpunkt ist der Punkt $C$. Der rechte Schnittpunkt wird als $C_2$ bezeichnet, kommt aber nicht in Betracht. (Erklärung folgt). Verbinde den Punkt $B$ und den Punkt $C$. Dadurch wir die Seite $a$ erzeugt.
3) Der Winkel $\beta$ ist nun ebenfalls konstruiert. Miss den Winkel und teile ihn durch 2, um $\frac{\displaystyle \beta}{\displaystyle 2}$ zu erhalten.
4) Konstruiere $\frac{\displaystyle \beta}{\displaystyle 2}$ und zeichne dabei den Strahl 7 cm lang (Alternativ mit Zirkel 7 cm abmessen) und markiere den Punkt D, der den Abstand von 7 cm zu $B$ hat.
5) Der Punkt $D$ muss auf der Seite $b$ liegen. Ziehe daher einen Strahl von $C$ durch $D$ bis zur unteren Geraden. Der Schnittpunkt ist der Punkt $A$.
6) Beschrifte das Dreieck
Erklärung, warum $C_2$ nicht relevant ist:
Würde $C_2$ ebenfalls als Möglichkeit in Betracht kommen, so wäre $\beta$ ca. 138° groß. Zeichnet man nun die Winkelhalbierende mit einer Länge von 7 cm, so liegt der Punkt $D$ nicht zwischen den beiden parallelen Geraden. Dadurch kann der Punkt $A$ nicht konstruiert werden (siehe Abbildung)
$\beta=$ $25^{\circ}$
Konstruktionsvorschlag:
1) Konstruiere zwei parallele Geraden im Abstand von 3 cm (bedingt durch die Höhe $h_c$. Auf der unteren Gerade befindet sich die Seite $c$ und die Punkte $A$ und $B$, auf der oberen Gerade der Punkt $C$.
2) Wähle auf der unteren Gerade einen Punkt aus und beschrifte ihn mit $A$.
3) Wähle mit dem Zirkel den Radius von 4 cm und stich im Punkt $A$ ein. Konstruiere einen Kreisbogen. Die Schnittpunkte mit der oberen Geraden bilden den möglichen Punkt $C$. Beschrifte den rechten Schnittpunkt mit $C_2$. Dieser ist jedoch nicht relevant (Erklärung folgt).
4) Konstruiere die Winkelhalbierende. Wähle mit dem Zirkel den Radius von 5 cm und stich im Punkt $C$ ein. Konstruiere den Kreisbogen. Der Schnittpunkt mit der unteren Gerade wird mit $D$ beschriftet. Der erzeugte Winkel bei $C$ ist $\frac{\displaystyle \gamma}{\displaystyle 2}$. Miss im Anschluss den Winkel.
5) Verdopple den Winkel und konstruiere damit \gamma. Ziehe den Strahl so lang, sodass er die untere Geade schneidet. Der Schnittpunkt ist der Punkt $B$.
6) Beschrifte das Dreieck.
Erklärung, warum $C_2$ nicht relevant ist:
Konstruiert man die Winkelhalbierende bei $C_2$ und misst den dadurch erzeugten Winkel, so stellt man fest, dass dieser größer als 90° ist. Da dieser Winkel jedoch nur $\frac{\displaystyle \gamma}{\displaystyle 2}$ ist und der Winkel verdoppelt werden muss, wäre $\gamma$ größer als 90°, was nicht möglich ist (siehe Skizze).
W-Komplexe Wahrscheinlichkeitsrechnung (1, W3)
Ein Korb enthält 10 Äpfel, 8 Birnen und 6 Orangen.
a) Eine Person nimmt sich zufällig nacheinander zwei Früchte heraus und isst sie. Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass es
(2) eine Birne und eine Orange sind,
(3) zwei gleiche Früchte sind,
(4) zwei unterschiedliche Früchte sind.
c) 9 Früchte wurden bereits aufgegessen. Die Wahrscheinlichkeit, nun zufällig eine Orange zu ziehen, beträgt $\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}$. Wie viele Orangen hat die Person bereits gegessen?
$\frac{\displaystyle 10}{\displaystyle 24}\cdot\frac{\displaystyle 9}{\displaystyle 23}+\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 24}\cdot\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 23}+\frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 24}\cdot\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 23}=\frac{\displaystyle 22}{\displaystyle 69}$
Mit Hilfe der Gegenwahrscheinlichkeit und der Lösung aus (3) lässt sich die Wahrscheinlichkeit berechnen:
$1-\frac{\displaystyle 22}{\displaystyle 69}=\frac{\displaystyle 47}{\displaystyle 69}$