P-Terme (4, P1)
Berechne
a) $\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 9}\cdot 3\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}$
b) $\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle -8}:\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}$
b) $(-2)\cdot \left( \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}: \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3} \right) $
P-Winkel in Figuren (4, P2)
In der Figur sind die Strecken $\overline{BF}$ und $\overline{CE}$ parallel. Weiterhin gilt: $|BC|=|BD|$. Bestimme die Größe der Winkel $\beta$, $\gamma$ und $\epsilon$.
P-Zuordnungen (4, P3)
Eine Frau fährt von München nach Stuttgart. Je nach Geschwindigkeit, braucht sie für diese Strecke unterschiedlich lange. Berechne die Werte für a und b und gib für c und d ein neues Wertepaar an.
Geschwindigkeit in km/h | 60 | 120 | b | c |
---|---|---|---|---|
Dauer der Fahrt in Stunden | 4 | a | 3 | d |
Das Produkt beider Werte muss 240 ergeben (antiproportionaler Zusammenhang)
P-Symmetrie (4, P4)
Welche der folgenden Figuren (1) bis (5)
a) sind achsensymmetrisch,
b) sind punktsymmetrisch,
c) haben mehr als eine Symmetrieachse?
P-Prozentrechnung (4, P5)
Tayeb will ein neues Fahrrad kaufen. Das Fahrrad kostet eigentlich 300 Euro. Im Sonderangebot wird der Preis wird um 20 % reduziert.
a) Berechne, wie viel das Fahrrad jetzt kostet?
b) Der neue Preis stellt 60 % von Tayebs Ersparnissen dar. Wie viel Euro hat er nach dem Kauf im Sonderangebot noch übrig?
20 % Reduktion bedeutet, dass der neue Preis nun 80 % des Grundwerts entspricht.
$300 \cdot 0,8 = 240$
240 € entsprechen 60 % des Grundwerts.
$240:0,6=400$
Tayeb hatte also 400 € zur Verfügung. Subtrahiert man davon 240 €, so hat er noch 160 €.
P-Wahrscheinlichkeitsrechnung (4, P6)
In einer Urne befinden sich 3 rote und 2 blaue Kugeln. Es wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln rot sind?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine rote Kugel dabei ist?
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Zug eine rote Kugel gezogen wird, beträgt $\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 5}$. Da die Kugel nicht zurückgelegt wird, beträgt die Wahrscheinlichkeit beim zweiten Zug $\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 4}$. oder $\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}$.
Daher ergibt sich für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
$p=\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 5}\cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}=\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 10}$.
Die Aufgabe kann mit der Gegenwahrscheinlichkeit, dass keine rote Kugel gezogen wird, berechnet werden:
$p(\text{keine rote Kugel})=\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 5} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 10}$
$p(\text{mindestens eine rote Kugel})=1-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 10}=\frac{\displaystyle 9}{\displaystyle 10}$
P-Zuordnungen (4, P7)
Im Koordinatensystem ist die Entfernung von Frankfurt von 4 Personen angegeben. 1 LE auf der y-Achse entspricht dabei 10 km Entfernung. 1 LE auf der x-Achse entspricht einer Stunde.
Entscheide, welcher der Aussagen wahr sind
(1) Person A bewegt sich im betrachteten Zeitraum von Frankfurt weg.
(2) Person B fährt im betrachteten Zeitraum aus Frankfurt raus und fährt dann aber wieder zurück nach Frankfurt.
(3) Person C fährt im betrachteten Zeitraum nach Frankfurt.
(4) Person C fährt im betrachteten Zeitraum aus Frankfurt raus.
(5) Person D ist im betrachteten Zeitraum nach 3 Stunden in Frankfurt angekommen.
(6) Person D bleibt im betrachteten Zeitraum nach der Ankunft in Frankfurt.
(7) Person B ist im betrachteten Zeitraum kurzzeitig am weitesten von Frankfurt entfernt.
P-Flächenberechnung und Koordinatensysteme (4, P8)
Gegeben ist das Rechteckt $ABCD$. Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt 24 cm².
$F$ ist der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$, $G$ ist der Mittelpunkt der Strecke $\overline{CD}$, $H$ ist der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AD}$ und $E$ ist der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AF}$.
a) Bestimme wie groß die Strecke $\overline{BC}$ ist, wenn die Strecke $\overline{AB}$
das $\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 3}$-fache der Strecke $\overline{BC}$ ist.
b) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $EGH$.
Rechnung:
x sei die unbekannte Strecke.
$x \cdot \frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 3}x=24$
$x^2=9$
$x=3$
Rechnung:
Man betrachte lediglich die Hälfte des Rechtecks, in der das Dreieck liegt.
Dieses Reckteck $AFGD$ hat den Flächeninhalt von 12 cm²
Von diesem Rechteck zieht man die drei rechtwinkligen Dreiecke $AEH$, $EFG$ und $GDH$ ab.
Flächeninhalt Dreieck $AEG$:
$A=2 \cdot 1,5 \cdot 0,5 = 1,5$ cm²
Flächeninhalt Dreieck $EFG$:
$A=2 \cdot 3 \cdot 0,5 = 3$ cm²
Flächeninhalt Dreieck $GDH$:
$A=4 \cdot 1,5 \cdot 0,5 = 3$ cm²
$A_{EGH}=12-1,5-3-3=4,5$ cm²
W-Gleichungen (4, W1)
Gib die Lösungsmenge jeweils in aufzählender Form an; $\mathbb{G} = \mathbb{Z} =\{...;-2;-1;0;1;2;...\} $
a) $x-(x+3)-4x=8(-1,5x+13)-51$
b) $-(x+3)\cdot (-x+4)=x^2+(-4x)\cdot(-5)+3x+36
$
c) $(2x-16)\cdot(2x+16)<-4$
d) $(x+3)\cdot(2x-4)=0$
Lösung der Gleichung:
$(-x-3)\cdot(-x+4)=x^2+20x+3x+36$
$x^2-4x+3x-12=x^2+23x+36$
$x^2-x-12==x^2+23x+36$
$-x-12=23x+36$
$-48=24x$ $-2=x$
Lösung der Gleichung
$4x^2-32x+32x-256<-4$
$4x^2-256<-4$
$4x^2<252$
$x^2<63$
Lösung der Gleichung:
Lösung für $x_1$:
$x+3=0$
$x_1=-3$
Lösung für $x_2$:
$2x-4=0$
$2x=4$
$x_2=2$
W-Dreieckskonstruktion (4, W2)
a) Konstruiere das Dreieck $ABC$ mit $a=4,0$ cm, $b=5,3$ cm und $\beta=46^{\circ}$.
b) Konstruiere das Dreieck $ABC$ mit $h_b=w_{\beta}=4,0$ cm und $a=5,5$ cm.
c) Konstruiere das Dreieck $ABC$ mit $\alpha=50^{\circ}$, $\beta=40^{\circ}$ und $w_\alpha=5,0$ cm.
c= 7,2 cm
Konstruktionsvorschlag:
1) Konstruiere die Seite a und Trage die Punkte B und C ein.
2) Konstruiere den Winkel $\beta$ bei B und zeichne einen Strahl.
3) Wähle mit dem Zirkel den Radius von 5,3 cm und stich im Punkt C ein. Konstruiere einen Kreisbogen. Der Schnittpunkt mit dem Strahl bildet den Punkt A.
4) Markiere den Punkt A und beschrifte das Dreieck.
Hinweis: Es handelt sich um den Kongruenzsatz Ssw
c= 5,5 cm
Konstruktionsvorschlag:
1) Konstruiere zwei parallele Geraden im Abstand von 4 cm. Auf der linken Geraden befindet sich die Seite b, sowie die Eckpunkte A und C, auf der rechten Gerade der Punkt B
2) Wähle auf der rechten Geraden einen beliebigen Punkt und nenne ihn B.
3) Da die Höhe $h_b$ der Winkelhalbierenden $w_{\beta}$ entspricht ist die Winkelhalbierende die senkrechte Verbindung vom Punkt B zur linken Geraden. Konstruiere diese Strecke und beschrifte sie mit $w_{\beta}$. Beschrifte den Punkt an der linken Gerade mit D
4) Wähle mit dem Zirkel den Radius von 5,5 cm und stich im Punkt B ein. Konstruiere einen Kreisbogen. Der rechte Schnittpunkt mit der linken Geraden bildet den Punkt C. Der zweite Schnittpunkt kommt nicht in Betracht, da sich der Punkt C rechts von der Winkelhabierenden befinden muss.
5) Miss den Winkel bei B. Dieser entspricht $\frac{\displaystyle \beta}{\displaystyle 2}$. Der Wert entspricht etwa 43°. konstruiere den gleichen Winkel erneut links von B und zeichne einen Strahl. Der Schnittpunkt des Strahls mit der linken Geraden bildet den Punkt A.
6) Beschrifte das Dreieck.
b= 4,5 cm
Konstruktionsvorschlag
1) Konstruiere den Winkel $\alpha$ und zeichne beide Schenkel als Strahl. Auf dem oberen Strahl muss sich der Punkt C befinden und auf dem unteren der Punkt B.
2) Da $\frac{\displaystyle \alpha}{\displaystyle 2}=25^{\circ}$ konstruiere diesen Winkel bei A ebenfalls. Zeichne den Schenkel 5 cm lang (alternativ mit dem Zirkel konstruieren). Markiere nach 5 cm den Punkt D.
3) Im Dreieck $ADC$ sind alle Winkel bekannt, obwohl die Lage von Punkt C noch unbekannt ist. Da zwei Winkel gegeben sind ($25^{\circ}$ und $\gamma=40^{\circ}$) muss der Winkel bei D (in Abbildung $\delta_1$) $115^{\circ}$ groß sein. Konstruiere diesen Winkel.
4) Der Schnittpunkt mit dem Schenkel vom Winkel $\alpha$ ist der Punkt C. Verlängere die Strecke $\overline{CD}$ um den Punkt B zu bestimmen.
W-Komplexe Wahrscheinlichkeitsrechnung (4, W3)
Ein Spielzeugauto hat 4 Räder, die jeweils rot, grün oder blau sein können. Ein Würfel mit einer roten, zwei grünen und drei blauen Seiten gibt die Farbe des nächsten Rades an, das auf das Auto montiert wird. Es wird viermal gewürfelt.
a) Berechne die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
(2) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto kein blaues Rad hat?
(3) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto mindestens ein blaues Rad hat?
(4) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto abwechselnd rote und grüne Räder (d. h. entweder mit rot beginnend oder mit grün beginnend) montiert werden?”
c) Zuerst wird das linke Vorderrad, dann das rechte Vorderrad, dann das linke Hinterrad und dann das rechte Hinterrad montiert.
(2) Wie groß ist de Wahrscheinlichkeit, dass keine geichen Farben nebeneinander montiert werden?
Die Wahrscheinlichkeit kann über das Gegenereignis (kein blaues Rad) berechnet werden:
$p(\text{kein blaues Rad})=\left( \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \right)^4$
$p(\text{mind. ein blaues Rad})=1-\left( \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \right)^4= \frac{\displaystyle 15}{\displaystyle 16} $
$p(\text{rot grün abwechselnd})=p(\text{rot-grün-rot-grün})+p(\text{grün-rot-grün-rot})$
$p=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 162}$
Prinzipiell gibt es 4 Möglichkeiten, wie blaue Reifen nebeneinander montiert werden können: 2 blaue links, 2 blaue rechts, 2 blaue vorne, 2 blaue hinten.
Da jedoch auch die anderen Farben eine Rolle spielen gibt es für jeden Fall nochmal 4 weitere Möglichkeiten (siehe Abbildung).
Jeder Fall hat jedoch die Wahrscheinlichkeit $p=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 72}$
Da es 16 Fälle gibt: $p=16 \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 72}= \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 9}$
Damit keine zwei gleichfarbigen Reifen nebeneinander sind, müssen die diagonalen Reifen in der Farbe identisch sein. Daher kommen die drei diagonalen Fälle blau, grün und rot in Frage. Da es jeweils 2 Arten der Diagonalität gibt (links vorne und rechts hinten vs. rechts vorne und links hinten) und jeweils die anderen beiden Farben sich ebenfalls abwechseln können, ergeben sich 12 Fälle (links in der Abbildung)
Es gibt jedoch auch noch die Möglichkeit, dass nur 2 Farben montiert werden. Dabei müssen sich die gleichfarbigen Reifen jeweils diagonal gegenüber stehen. Dies ergibt 6 mögliche Fälle (rechts in der Abbildung, doppelte Varianten wurden mit einem X versehen)