Aufgaben aus Beispielwettbewerb 3
Aufgabenbereich: P-Terme
b) Gib einen Term für den Flächeninhalt der nebenstehenden Figur in Abhängikeit von x an.
c) x sei 3 cm. Berechne den Flächeninhalt der Figur.
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Lösungen
$A=2\cdot3^2 +36\cdot 3$
$A=18+108$
$A=126\:cm²$
Aufgabenbereich: W-Gleichungen
a) $-2\cdot(5x-9)+(-2)\cdot(-4)=-(-2x+3)+5$
b) $2x^2-3\cdot(2x+5)=(x+1)\cdot(x-1)-6x+2$
c) $(-x-4)\cdot(x+2)\geq -6x-10$
d) $(4x+8)\cdot(x+2)=400$
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Lösungen
Lösung der Gleichung:
$-10x+18+8=2x-3+5$
$-10x+26=2x+2$
$24=12x$
$x=2$
Lösung der Gleichung:
$2x^2-6x-15=x^2-x+x-1-6x+2$
$2x^2-6x-15=x^2-6x-1$
$2x^2-15=x^2-1$
$x^2=16$
$x_1=4; x_2=-4$
Lösung der Ungleichung:
$-x^2-2x-4x-8 \geq -6x-10$
$-x^2-6x-8 \geq -6x-10$
$-x^2-8 \geq -10 $
$-x^2 \geq -2 $
$x^2 \leq 2$
$\mathbb{L}=\{-1;0;1\}$
Lösung der Gleichung:
$4(x+2)\cdot (x+2)=400$
$(x+2) \cdot (x+2)=100$
$(x+2)^2=100$
Lösung für $x_1$:
$x+2=10$
$x_1=8$
Lösung für $x_2$:
$x+2=-10$
$x_2=-12$
Aufgabenbereich: P-Prozentrechnung
a) Wie viel Prozent mehr Kalorien enthält die zweite Sorte im Vergleich zur ersten Sorte?
b) Um wieviel Prozent müsste die zweite Sorte reduziert werden, damit sie so teuer ist, wie die erste Sorte?"
Lösungen
Demnach muss die Schokolade um 37,5 % reduziert werden.
Aufgabenbereich: W-Dreieckskonstruktion
b) Bei einem Dreieck $ABC$ ist die Winkelhalbierende $w_{\alpha}=5$ cm, $\alpha=60^{\circ}$ und $\gamma=42^{\circ}$. Die Winkelhalbierende $w_{\alpha}$ trifft die Seite $\overline{BC}=a$ im Punkt D. Konstruiere das Dreieck.
c) Konstruiere das Dreieck $ABC$ mit $b=5,0$ cm, $\alpha=47^{\circ}$ und $w_\gamma=4,0$ cm.
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Lösungen
$\alpha=$
Konstruktionsvorschlag:
1) Konstruiere die Seite a und Trage die Punkte B und C ein.
2) Konstruiere den Winkel $\beta$ bei B und zeichne einen Strahl.
3) Wähle mit dem Zirkel den Radius von 5 cm und stich im Punkt C ein. Konstruiere einen Kreisbogen. Die Schnittpunkte mit dem Strahl bilden den möglichen Punkt A. Beschrifte den rechten Schnittpunkt mit $A_2$. Da das Dreieck $A_2BC$ bei $A_2$ einen stumpfen Winkel hat, kommt dieses Dreieck nicht in Betracht (siehe Aufgabenstellung).
4) Markiere den Punkt A und beschrifte das Dreieck.
a=
Konstruktionsvorschlag
1) Konstruiere den Winkel $\alpha$ und zeichne beide Schenkel als Strahl. Auf dem oberen Strahl muss sich der Punkt C befinden und auf dem unteren der Punkt B.
2) Da $\frac{\displaystyle \alpha}{\displaystyle 2}=30^{\circ}$ konstruiere diesen Winkel bei A ebenfalls. Zeichne den Schenkel 5 cm lang (alternativ mit dem Zirkel konstruieren). Markiere nach 5 cm den Punkt D.
3) Im Dreieck $ADC$ sind alle Winkel bekannt, obwohl die Lage von Punkt C noch unbekannt ist. Da zwei Winkel gegeben sind ($30^{\circ}$ und $\gamma=42^{\circ}$) muss der Winkel bei D (in Abbildung $\delta_1$) $108^{\circ}$ groß sein. Konstruiere diesen Winkel.
4) Der Schnittpunkt mit dem Schenkel vom Winkel $\alpha$ ist der Punkt C. Verlängere die Strecke $\overline{CD}$ um den Punkt B zu bestimmen.
c=
Konstruktionsvorschlag:
1) Konstruiere die Seite B und Trage die Eckpunkte A und C ein.
2) Konstruiere den Winkel $\alpha$ bei A und zeichne den unbekannten Schenkel als Strahl. Auf diesem Strahl muss sich der Eckpunkt B befinden.
3) Stelle mit dem Zirkel den Radius von $w_\gamma$ ein (4 cm) und stich damit im Punkt C ein. Konstruiere einen Kreisbogen. Der Kreisbogen schneidet den unteren Strahl an zwei Punkten. Beschrifte diese mit $D_1$ und $D_2$ und zeichne beide mögliche Winkelhalbierenden (Strecke $\overline{D_1C}$ und $\overline{D_2C}$).
4) Miss beide Winkel, die bei $\gamma$ entstehen. Beide Winkel stellen potenziell $\frac{\displaystyle \gamma}{\displaystyle 2}$ dar. Ein Winkel ist ca. 19°, der andere ca. 67°. Nur der 19° Winkel ist relevant (Erklärung folgt).
5) Verdopple den 19° Winkel. Der Schnittpunkt des Schenkels mit dem unteren Strahl ist der Eckpunkt B. Beschrifte das Dreieck fertig.
Erklärung, warum der 69° Winkel nicht relevant ist:
Da $69^{\circ}= \frac{\displaystyle \gamma}{\displaystyle 2}$ muss $\gamma=2\cdot69^{\circ}=138^{\circ}$ sein. Da der Winkel $\alpha$ mit 47° ebenfalls bekannt ist, ergeben beide Winkel zusammen 185°. Da die Winkelsumme eines Dreiecks 180° ergeben muss, ist damit kein Dreieck konstruierbar (siehe Abbildung).
Aufgabenbereich: P-Zuordnungen
| Anzahl Waffeln | 20 | 10 | b | c |
|---|---|---|---|---|
| Preis in € | 26 | a | 2,6 | d |
Lösungen
Aufgabenbereich: W-Komplexe Wahrscheinlichkeitsrechnung
a) Anna hat einen eingehenden Anruf. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
(2) das Smartphone nur nicht klingelt,
(3) das Smartphone nur nicht vibriert,
(4) mindestens einer der beiden Fehler auftritt.
c) Anna bringt das Gerät zur Reparatur. Als sie das Smartphone zurückbekommt, sagt der Verkäufer, dass er lediglich die Wahrscheinlichkeit, dass es nicht vibriert, verbessern konnte, dieser Fehler aber immer noch auftritt. Er gibt an, dass bei einem eingehenden Anruf die Wahrscheinlichkeit, dass keiner der beiden Fehler auftritt, nun bei 90 % liegt. Berechne die neue Wahrscheinlichkeit q, dass das Handy nicht vibriert.
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Lösungen
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Smartphone klingelt liegt bei 95 % =$\frac{\displaystyle 19}{\displaystyle 20}$.
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Smartphone vibriertliegt bei 90% =$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 10}$.
Da die Fehler unabhängig voneinander auftreten und auch gleichzeitig auftreten können, ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten:
$p=\frac{\displaystyle 19}{\displaystyle 20}\cdot \frac{\displaystyle 9}{\displaystyle 10}=\frac{\displaystyle 171}{\displaystyle 200}=0,855$
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der beiden Fehlern auftritt ist die Gegenwahrscheinlichkeit davon, dass kein Fehler auftritt.
Daher kann diese Aufgabe mit Hilfe der Gegenwahrscheinlichkeit berechnet werden:
$p=1-\left( \frac{\displaystyle 19}{\displaystyle 20}\cdot \frac{\displaystyle 9}{\displaystyle 10}\right)=\frac{\displaystyle 29}{\displaystyle 200}=0,145$
Alle drei Fehler müssen auftreten, demnach gilt:
$p=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 20}\cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 10}\cdot \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 10}=\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2000}=0,0015$
q sei die Wahrscheinlichkeit, dass das Handy vibriert.
Dann muss gelten: $\frac{\displaystyle 19}{\displaystyle 20}\cdot q= 0,9$
$0,9:0,95=\frac{\displaystyle 18}{\displaystyle 19}$
Aufgabenbereich: P-Winkel in Figuren
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Lösungen
Aufgabenbereich: P-Prozentrechnung
Lösungen
Um den Grundwert (100 %) zu berechnen muss 990 durch 1,1 dividiert werden.
$990:1,1=900$
Aufgabenbereich: P-Wahrscheinlichkeitsrechnung
a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass das Rad auf dem grünen Feld stehen bleibt.
b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass bei zwei Versuchen die Farben blau und pink gedreht werden.
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Lösungen
Aufgabenbereich: P-Symmetrie
a) sind achsensymmetrisch,
b) sind punktsymmetrisch,
c) haben mehr als eine Symmetrieachse?
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Lösungen
Aufgabenbereich: P-Flächenberechnung und Koordinatensysteme
a) Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$.
b) Das Dreieck soll um den Punkt D ergänzt werden, sodass ein Trapez entsteht. Dabei soll gelten: $\overline{AB}\:||\:\overline{CD}$. Der Punkt D soll sich links vom Punkt C befinden. Bestimme die Koordinaten des Punktes D, sodass der Flächeninhalt des Trapezes 30 cm² groß ist.
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Lösungen
Für das vorliegende Trapez gilt: a=5 cm und h=5 cm. Demnach gilt:
$30=\frac{\displaystyle (5+c)\cdot 5}{\displaystyle 2}$
$30=(5+c)\cdot2,5$
$30=12,5+2,5c$
$c=7$
Die Seite c muss daher 7 cm lang sein. Der Punkt D muss daher 7 cm vom Punkt D entfernt sein. Daher gilt D(-3|5)
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