Aufgaben aus Beispielwettbewerb 1

Aufgabenbereich: P-Terme

Berechne.
a) $\frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 7}\cdot(-8+29)+1$
b) $\frac{\displaystyle 81}{\displaystyle 9}+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}-2\cdot(-7)$
c) $121:11^2-\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 7}$

Lösungen

a) $19$b) $\frac{\displaystyle 70}{\displaystyle 3}$c) $-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 7}$

Aufgabenbereich: W-Gleichungen

Gib die Lösungsmenge jeweils in aufzählender Form an; $\mathbb{G} = \mathbb{Z} =\{...;-2;-1;0;1;2;...\} $
a) $6\cdot (x+6,5)=-21\cdot (7x+2)+9(12x-1)$
b) $(8+x)\cdot (7-x)+2=x(-x+3)+2 $
c) $4x^2-8x+21>x\cdot (3x-3)-5x+39 $
d) $(30-x)^2=2500 $

Lösungen

a) $\mathbb{L}=\{$ $-2\}$
Lösung der Gleichung:
$6x+39=-147x-42+108x-9$
$6x+39=-39x-51$
$45x=-90$
$x=-2$
b) $\mathbb{L}=\{$ $14\}$
Lösung der Gleichung:
$56-8x+7x-x^2+2=-x^2+3x+2$
$-x^2-x+58=-x^2+3x+2$
$-x+58=3x+2$
$56=4x$
$14=x$
c) $\mathbb{L}=\{...;-7;-6;-5;5;6;7;...\}$
Lösung der Ungleichung:
$4x^2-8x+21>3x^2-3x-5x+39$
$4x^2-8x+21>3x^2-8x+39$
$4x^2+21>3x^2+39$
$x^2>18$
$\mathbb{L}=\{...;-7;-6;-5;5;6;7;...\}$d) $\mathbb{L}=\{-20;80\}$
Lösung der Gleichung:
Lösung für $x_1:$
$30-x=50$
$x_1=-20$
Lösung für $x_2$:
$30-x=-50$
$x_2=?80$

Aufgabenbereich: P-Zuordnungen

Beim Weihnachtsbaumverkauf kosten drei Tannenbäume 22,50€.
Berechne die Werte für a und b und gib für c und d ein neues Wertepaar an.

.tg {border-collapse:collapse;border-spacing:0;} .tg td{border-color:black;border-style:solid;border-width:1px;font-family:Arial, sans-serif;font-size:14px; overflow:hidden;padding:10px 5px;word-break:normal;} .tg th{border-color:black;border-style:solid;border-width:1px;font-family:Arial, sans-serif;font-size:14px; font-weight:normal;overflow:hidden;padding:10px 5px;word-break:normal;} .tg .tg-0lax{text-align:left;vertical-align:top} Anzahl der Bäume 3 12 b c Preis in € 22,5 a 37,5 d

Lösungen

Wert für a: 90 €Wert für b: 5 BäumeWertepaar c und d: z. B. 1 Baum kostet 7,50 €
z. B. 4 Bäume kosten 30 €

Aufgabenbereich: W-Dreieckskonstruktion

a) Konstruiere ein Dreieck $ABC$ mit $a=5,0$ cm, $b=3,0$ cm und $c=6,0$ cm.
b) Konstruiere ein Dreieck $ABC$ mit $h_c=4,0$ cm, $a=6,0$ cm und $w_\beta=7,0$ cm.
c) Konstruiere ein Dreieck $ABC$ mit $h_c=3,0$ cm, $b=4,0$ cm und $w_\gamma=5,0$ cm.

Lösungen

a) Um zu überprüfen, ob du das Dreieck korrekt konstruiert hast, miss den Winkel $\alpha$.
$\alpha=$ $56^{\circ}$
Konstruktionsvorschlag:
1) Konstruiere die Seite c und Trage die Punkte A und B ein.
2) Stelle mit dem Zirkel den Radius von b ein (3 cm) und stich damit im Punkt A ein. Konstruiere einen Halbkreis. Auf diesem Kreis muss der Punkt C liegen
3) Wiederhole den Vorgang für die Seite a. Stelle dafür den Zirkel auf 5 cm und Stich mit dem Zirkel um Punkt B ein. Konstruiere einen Halbkreis. 4) Der Schnittpunkt der beiden Halbkreise ist der Punkt C. Verbinde zum fertigen Dreieck und beschrifte das Dreieck.
Hinweis: Es handelt sich um den Kongruenzsatz SSS.

b) Um zu überprüfen, ob du das Dreieck korrekt konstruiert hast, miss den Winkel $\alpha$.
$\alpha=$ $36^{\circ}$
Konstruktionsvorschlag:
1) Konstruiere zwei parallele Geraden im Abstand von 4 cm. Auf der unteren Geraden befindet sich die Seite c mit den Punkten $A$ und $B$. Auf der oberen Geraden muss sich der Punkt $C$ befinden. Damit ist die Höhe $h_c$ konstruiert.
2) Wähle auf der unteren Seite einen Punkt aus, den du mit $B$ beschriftest. Konstruiere die Seite $a$, indem du den Zirkel auf 6 cm einstellst. Stich im Punkt $B$ ein und konstruiere einen Halbkreis um den Punkt $B$. Die obere Gerade wird von dem Kreis zweimal geschnitten. Der linke Schnittpunkt ist der Punkt $C$. Der rechte Schnittpunkt wird als $C_2$ bezeichnet, kommt aber nicht in Betracht. (Erklärung folgt). Verbinde den Punkt $B$ und den Punkt $C$. Dadurch wir die Seite $a$ erzeugt.
3) Der Winkel $\beta$ ist nun ebenfalls konstruiert. Miss den Winkel und teile ihn durch 2, um $\frac{\displaystyle \beta}{\displaystyle 2}$ zu erhalten.
4) Konstruiere $\frac{\displaystyle \beta}{\displaystyle 2}$ und zeichne dabei den Strahl 7 cm lang (Alternativ mit Zirkel 7 cm abmessen) und markiere den Punkt D, der den Abstand von 7 cm zu $B$ hat.
5) Der Punkt $D$ muss auf der Seite $b$ liegen. Ziehe daher einen Strahl von $C$ durch $D$ bis zur unteren Geraden. Der Schnittpunkt ist der Punkt $A$.
6) Beschrifte das Dreieck

Erklärung, warum $C_2$ nicht relevant ist:
Würde $C_2$ ebenfalls als Möglichkeit in Betracht kommen, so wäre $\beta$ ca. 138° groß. Zeichnet man nun die Winkelhalbierende mit einer Länge von 7 cm, so liegt der Punkt $D$ nicht zwischen den beiden parallelen Geraden. Dadurch kann der Punkt $A$ nicht konstruiert werden (siehe Abbildung)
c) Um zu überprüfen, ob du das Dreieck korrekt konstruiert hast, miss den Winkel $\beta$.
$\beta=$ $25^{\circ}$
Konstruktionsvorschlag:
1) Konstruiere zwei parallele Geraden im Abstand von 3 cm (bedingt durch die Höhe $h_c$. Auf der unteren Gerade befindet sich die Seite $c$ und die Punkte $A$ und $B$, auf der oberen Gerade der Punkt $C$.
2) Wähle auf der unteren Gerade einen Punkt aus und beschrifte ihn mit $A$.
3) Wähle mit dem Zirkel den Radius von 4 cm und stich im Punkt $A$ ein. Konstruiere einen Kreisbogen. Die Schnittpunkte mit der oberen Geraden bilden den möglichen Punkt $C$. Beschrifte den rechten Schnittpunkt mit $C_2$. Dieser ist jedoch nicht relevant (Erklärung folgt).
4) Konstruiere die Winkelhalbierende. Wähle mit dem Zirkel den Radius von 5 cm und stich im Punkt $C$ ein. Konstruiere den Kreisbogen. Der Schnittpunkt mit der unteren Gerade wird mit $D$ beschriftet. Der erzeugte Winkel bei $C$ ist $\frac{\displaystyle \gamma}{\displaystyle 2}$. Miss im Anschluss den Winkel.
5) Verdopple den Winkel und konstruiere damit \gamma. Ziehe den Strahl so lang, sodass er die untere Geade schneidet. Der Schnittpunkt ist der Punkt $B$.
6) Beschrifte das Dreieck.

Erklärung, warum $C_2$ nicht relevant ist:
Konstruiert man die Winkelhalbierende bei $C_2$ und misst den dadurch erzeugten Winkel, so stellt man fest, dass dieser größer als 90° ist. Da dieser Winkel jedoch nur $\frac{\displaystyle \gamma}{\displaystyle 2}$ ist und der Winkel verdoppelt werden muss, wäre $\gamma$ größer als 90°, was nicht möglich ist (siehe Skizze).

Aufgabenbereich: P-Winkel in Figuren

In der Figur gilt $|CB|=|CD|$. Bestimme die Größen der Winkel $\beta , \gamma$ und $\epsilon$.

Lösungen

$\beta =$ $104°$$\gamma=$ $62°$$\epsilon=$ $30°$

Aufgabenbereich: W-Komplexe Wahrscheinlichkeitsrechnung

Ein Korb enthält 10 Äpfel, 8 Birnen und 6 Orangen.
a) Eine Person nimmt sich zufällig nacheinander zwei Früchte heraus und isst sie. Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass es
(1) zwei Äpfel sind,
(2) eine Birne und eine Orange sind,
(3) zwei gleiche Früchte sind,
(4) zwei unterschiedliche Früchte sind.
b) Beschreibe ein Ereignis mit der folgenden Wahrscheinlichkeit: $1-\frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 24}\cdot\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 23}$
c) 9 Früchte wurden bereits aufgegessen. Die Wahrscheinlichkeit, nun zufällig eine Orange zu ziehen, beträgt $\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}$. Wie viele Orangen hat die Person bereits gegessen?

Lösungen

a) (1) $p=$ $\frac{\displaystyle 10}{\displaystyle 24}\cdot\frac{\displaystyle 9}{\displaystyle 23}=\frac{\displaystyle 15}{\displaystyle 92}$a) (2) $p=$ $\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 24}\cdot\frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 23}+\frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 24}\cdot\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 23}=\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 23}$a) (3) $p=$ $\frac{\displaystyle 22}{\displaystyle 69}$
$\frac{\displaystyle 10}{\displaystyle 24}\cdot\frac{\displaystyle 9}{\displaystyle 23}+\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 24}\cdot\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 23}+\frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 24}\cdot\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 23}=\frac{\displaystyle 22}{\displaystyle 69}$a) (4) $p=$ $=\frac{\displaystyle 47}{\displaystyle 69}$
Mit Hilfe der Gegenwahrscheinlichkeit und der Lösung aus (3) lässt sich die Wahrscheinlichkeit berechnen:
$1-\frac{\displaystyle 22}{\displaystyle 69}=\frac{\displaystyle 47}{\displaystyle 69}$b) Die Wahrscheinlichkeit keine Orange gezogen zu habenc) Er hat bereits eine Orange gegessen. Dies entspricht $\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 15}=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}$

Aufgabenbereich: P-Symmetrie

Gib an, welche der Figuren
a) achsensymmetrisch sind,
b) punktsymmetrisch sind,
c) mehr als eine Symmetrieachse haben.

Lösungen

a) 1, 2 und 4b) 1 und 5c) 1 und 4

Aufgabenbereich: P-Prozentrechnung

Auf dem Weihnachtsmarkt kostet ein Glas Kinderpunsch mittlerweile 3,60 €. Das ist im Vergleich zum Vorjahr eine Steigerung von 20 %.
a) Wie viel hat der Kinderpunsch im vergangenen Jahr gekostet?
b) Wie viel hat der Kinderpunsch vor zwei Jahren gekostet, wenn der Preis des Getränks im letzten Jahr um den gleichen Prozentsatz erhöht wurde?

Lösungen

a) 3 €b) 2,5 €

Aufgabenbereich: P-Wahrscheinlichkeitsrechnung

Ein zehnseitiger Würfel ist mit vier verschiedenen Farben (rot, blau, grün, gelb) angemalt. Dabei sind zwei Seitenflächen rot, drei Seitenflächen blau und eine Seitenfläche gelb. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird…
a) beim einmaligen würfeln eine grüne Seitenfläche oben liegen?
b) beim zweimaligen würfeln, eine blaue und eine gelbe Seitenfläche oben liegen?

Lösungen

a) $p=$ $\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 10}$b) $p=$ $\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 10} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 10} \cdot 2= \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 50}$

Aufgabenbereich: P-Terme

Berechne den Wert des Terms für $h=-2$ und $c=1,4$
a) $-h\cdot c$
b) $h^2-(h+2c)$
c) $c:(-h)+(-c\cdot h \cdot c^2)$

Lösungen

a) 2,8b) 3,2c) 6,188

Aufgabenbereich: P-Flächenberechnung und Koordinatensysteme

a) Berechne die Größe der Fläche des Dreiecks $ABE$.
b) Berechne x, sodass die Größe der Fläche des Dreiecks $ACD$ doppelt so groß ist, wie die Fläche des Dreiecks $ABE$.

Lösungen

a) Fläche des Dreiecks: $A=6\:cm \cdot 3\:cm \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}=9\:cm^2$b) Die Strecke x muss 3 cm lang sein, da der Flächeninhalt des Dreiecks $ACD$ 18 cm² sein muss. Daraus ergibt sich, dass die Strecke $|AC|=9\:cm$ sein muss, da $A_{ACD}=9\:cm\cdot 4\:cm\cdot\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}=18\:cm^2$. Demnach muss die Strecke $|BC|=x=3\:cm$ lang sein.

Gib einen Wettbewerb aus einem anderen JahrHinweis: Bei unseren Aufgaben handelt es sich nicht um Originalaufgaben des Mathematik-Wettbewerbs: Die Originalaufgaben findet ihr auf mathematik-wettbewerb.de

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